Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OB=8，OC=6．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△MBN存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△MBN的面積最大，最大面積是多少？

（3）在（2）的條件下，△MBN面積最大時(shí)，在BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△BPC的面積是△MBN面積的9倍？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）運(yùn)動(dòng)秒使△MBN的面積最大，最大面積是；（3）P（3， ）或（5， ）．

【解析】試題分析：（1）由線段的長(zhǎng)度得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，解方程組，即可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MB=6﹣3t，然后根據(jù)△BHN∽△BOC，求得NH=t，再利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式S△MBN=﹣（t﹣）2+，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， ）．過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△PBC=．則根據(jù)圖形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m），把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知： =．

試題解析：解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根據(jù)函數(shù)圖象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根據(jù)題意得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如圖，過點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MBHN=（10﹣3t）t==﹣（t﹣）2+，當(dāng)△MBN存在時(shí)，0＜t＜2，∴當(dāng)t=時(shí)，S△MBN最大=．

答：運(yùn)動(dòng)秒使△MBN的面積最大，最大面積是；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（8，0），C（0，6）代入，得： ，解得： ，∴直線BC的解析式為 ．

∵點(diǎn)P在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， ），如圖，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m， ）．

∴EP=﹣（）=，當(dāng)△MBN的面積最大時(shí)，S△PBC=9 S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3， ）或（5， ）．