Question

13．如圖1是美國第20屆總統(tǒng)加菲爾德于1876年公開發(fā)表的勾股定理一個簡明證法，聰明的思齊和他的社團小朋友們發(fā)現(xiàn)：兩個直角三角形在發(fā)生變化過程中，只要滿足一定的條件，就會有神奇的結(jié)果：
（1）問題：若把兩個變換的三角形拼成如圖2所示四邊形ABCD，點P為AB上一點，且∠DPC=∠A=∠B=90°．
求證：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：繼續(xù)變換圖形，如圖3，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．
（3）應(yīng)用：請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：如圖4，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，點C在邊BD上，且滿足∠DPC=∠A，問：經(jīng)過幾秒后CD長度等于D到AB的距離？

Answer 1

分析 （1）欲證明AD•BC=AP•BP，只要證明△ADP∽△BPC即可．
（2）結(jié)論不變．只要證明△ADP∽△BPC即可．
（3）如圖4中，設(shè)經(jīng)過t秒點D到AB的距離等于CD長，過點D作DE⊥AB于E．利用（2）的結(jié)論構(gòu)建方程即可．

解答 解：（1）證明：如圖2中，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP．

（2）結(jié)論AD•BC=AP•BP仍然成立．
理由：如圖3中，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADO，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠ADP，又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP．

（3）如圖4中，設(shè)經(jīng)過t秒點D到AB的距離等于CD長，過點D作DE⊥AB于E．

∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6，
在RT△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（2）可知AD•BC=AP•BP，
又AP=t，BP=12-t，
∴t（12-t）=10×2，
解得t=2或10，
∴t的值為2秒或10秒．

點評 本題考查相似綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形的條件，解題時注意圖形發(fā)生變化，結(jié)論不變，證明方法完全類似，屬于中考壓軸題．