13.如圖1是美國(guó)第20屆總統(tǒng)加菲爾德于1876年公開(kāi)發(fā)表的勾股定理一個(gè)簡(jiǎn)明證法,聰明的思齊和他的社團(tuán)小朋友們發(fā)現(xiàn):兩個(gè)直角三角形在發(fā)生變化過(guò)程中,只要滿足一定的條件,就會(huì)有神奇的結(jié)果:
(1)問(wèn)題:若把兩個(gè)變換的三角形拼成如圖2所示四邊形ABCD,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),且∠DPC=∠A=∠B=90°.
求證:AD•BC=AP•BP.
(2)探究:繼續(xù)變換圖形,如圖3,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題:如圖4,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C在邊BD上,且滿足∠DPC=∠A,問(wèn):經(jīng)過(guò)幾秒后CD長(zhǎng)度等于D到AB的距離?

分析 (1)欲證明AD•BC=AP•BP,只要證明△ADP∽△BPC即可.
(2)結(jié)論不變.只要證明△ADP∽△BPC即可.
(3)如圖4中,設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)D到AB的距離等于CD長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E.利用(2)的結(jié)論構(gòu)建方程即可.

解答 解:(1)證明:如圖2中,

∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$,
∴AD•BC=AP•BP.

(2)結(jié)論AD•BC=AP•BP仍然成立.
理由:如圖3中,

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,
又∵∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADO,
∵∠DPC=∠A=θ,
∴∠BPC=∠ADP,又∵∠A=∠B=θ,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$,
∴AD•BC=AP•BP.

(3)如圖4中,設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)D到AB的距離等于CD長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E.

∵AD=BD=10,AB=12,
∴AE=BE=6,
在RT△ADE中,DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8,
∴DC=DE=8,
∴BC=10-8=2,
又∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
∵∠DPC=∠A,
∴∠DPC=∠A=∠B,
由(2)可知AD•BC=AP•BP,
又AP=t,BP=12-t,
∴t(12-t)=10×2,
解得t=2或10,
∴t的值為2秒或10秒.

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形兩銳角互余等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形的條件,解題時(shí)注意圖形發(fā)生變化,結(jié)論不變,證明方法完全類(lèi)似,屬于中考?jí)狠S題.

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