Question

20．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為邊作等邊△ADC．
（1）用尺規(guī)作圖作出∠ADC的角平分線DM，交AC于F，交AB于E，連接CE．（保留作圖痕跡）
（2）求證：AE=CE=BE
（3）若AB=15cm，P是射線DM上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，PB+PC的值最��？請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DM，交AC于F，交AB于E．
（2）首先證明DM垂直平分線段AC，推出AE=CE，推出∠EAC=∠ECA，由∠EAC+∠ABC=90°，∠ECA+∠ECB=90°，推出∠ABC=∠ECB，推出CE=CB，即可證明．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，PB+PC的值最小，最小值就是線段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∠ADC的角平分線DM，交AC于F，交AB于E，連接CE，如圖所示，


（2）證明：
∵△ACD是等邊三角形，DM平分∠ADC，
∴DA=DC，
∴DM垂直平分線段AC，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠ACD=90°
∴∠EAC+∠ABC=90°，
∠ECA+∠ECB=90°，
∴∠ABC=∠ECB，
∴CE=CB，
∴AE=CE=CB．

（3）答：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，PB+PC的值最小，
PB+PC的最小值=EC+EB=AE+EB=AB=15cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖-復(fù)雜作圖、等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱、最短問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖的步驟，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．