Question

11．已知，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（0，3）點B（5，8）
（1）求拋物線y=x²+bx+c的解析式和頂點坐標；
（2）知圖1，連接AB，在x軸上確定一點C，使得∠ABC=90°，求出點C的坐標；
（3）將拋物線y=x²+bx+c向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到拋物線y=ax²+mx+n，直線y=kx+2（k＞0）與拋物線y=ax²+mx+n交于點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）（x₁＜x₂），連接OE，OF，若S_△EOF═3，在圖2中畫出平面直角坐標系并求k．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）首先求出直線AB、BC的解析式即可解決問題．
（3）由拋物線的解析式為y=x²-4x+3的頂點坐標（2，-1），又因為將拋物線y=x²+bx+c向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的新的拋物線的解析式為y=x²，（如圖所示），設(shè)EF與y軸交于點C，則OC=2，根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）把點A（0，3）點B（5，8）的坐標代入y=x²+bx+c中，得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{25+5b+c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）∵A（0，3）點B（5，8），設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，則有$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{5m+n=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+3，
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，設(shè)直線BC的解析式為y=-x+b′，把（5，8）代入得到b′=13，
∴直線BC的解析式為y=-x+13，令y=0，得x=13，
∴C（13，0）．
（3）∵拋物線的解析式為y=x²-4x+3的頂點坐標（2，-1），
∴將拋物線y=x²+bx+c向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，
得到的新的拋物線的解析式為y=x²，（如圖所示），設(shè)EF與y軸交于點C，則OC=2，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得到x²-kx-2=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，
∴x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+8}$，
∵S_△EOF=$\frac{1}{2}$•OC•（x₂-x₁），
∴3=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{k}^{2}+8}$，
∴k²=1，
∵k＞0，
∴k=1．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、兩直線垂直的條件、三角形的面積公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．