Question

3．已知二次函數(shù)y=a（x+l）（x-3）與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在
點(diǎn)B的左邊）．與y軸交于點(diǎn)C（0．-3），連結(jié)AC，BC．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）求ABC的面枳；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且位于笫四象限內(nèi)，連結(jié)BP，CP，試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，△BCP 的面積最大？

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)C（0．-3）代入拋物線的解析式求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）將x=0代入拋物線的解析式得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到OC的長(zhǎng)，令y=0可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，于是可求得AB的長(zhǎng)，最后依據(jù)三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（3）過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E．先求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則點(diǎn)E（x，x-3），然后可求得PE的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示），最后得到△CBP與x的函數(shù)關(guān)系是，從而可求得當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將點(diǎn)C（0．-3）代入拋物線的解析式得：-3a=-3，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3．
（2）∵將x=0代入得：y-3，
∴C（0，-3）．
∴OC=3．
∵令y=0得：（x+1）（x-3）=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）、B（3，0）．
∴AB=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵將B（3，0）代入得：3k-3=0，解得：k=1，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則點(diǎn)E（x，x-3）．
∴EP=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x．
∴S_△CBP=$\frac{1}{2}$EP•OB=-$\frac{3}{2}$（x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x²-3x+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BCP面積的最大值為$\frac{27}{8}$．
∵當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y=-$\frac{15}{4}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、三角形的面積公式、配方法求二次函數(shù)的最值，得到△CBP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．