Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3a經過A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三點．

（1）求b，c的值；

（2）在拋物對稱軸上找一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形．符合條件的點N的坐標為（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．

【解析】

（1）先把A（1，0）代入拋物線y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分別把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值；

（2）根據軸對稱的性質找出點P的位置，然后求出直線BC的解析式和對稱軸方程，二者聯(lián)立可求出點P的坐標；

（3）分當點N在x軸下方時和當點N在x軸上方時兩種情況求解即可.

解：（1）把A（1，0）代入拋物線y=ax2+2x﹣3a，

可得：a+2﹣3a=0

解得a=1．

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；

把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，

可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，

∵A（1，0），

∴b=﹣3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3，

∴其對稱軸為直線x=﹣=﹣1，

連接BC，如圖1所示，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣3，

當x=﹣1時，y=1﹣3=﹣2，

∴P（﹣1，﹣2）；

（3）存在點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形．

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，C（0，﹣3），

∴N1（﹣2，﹣3）；

②當點N在x軸上方時，

如圖2，過點N'作N'D⊥x軸于點D，

在△AN'D與△M'CO中，

∴△AN'D≌△M'CO（AAS），

∴N'D=OC=3，即N'點的縱坐標為 3．

∴3=x2+2x﹣3，

解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，

∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．