Question

【題目】如圖，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，點P為邊CD上的動點（P不與C重合），作點P關于BC的對稱點Q，連結(jié)AP，BP和BQ，現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若DP≥1，當△APB為等腰三角形時，△APB和△PBQ一定相似；②記經(jīng)過P，Q，A三點的圓面積為S，則4π≤S＜．

下列說法正確的是（　　）

A. ①對②對B. ①對②錯C. ①錯②對D. ①錯②錯

Answer 1

【答案】A

【解析】

①在Rt△ADP中，由AP＝2AD，推出∠APD＝30°，即可解決問題．

②求出兩種特殊位置的⊙O的面積即可判斷．

①如圖1中，

∵DP≥1，當△APB為等腰三角形，

∴只有AP＝AB，

在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，

∴PA＝2AD，

∴∠APD＝30°，

∵CD∥AB，

∴∠CPB＝∠ABP，

∵AP＝AB，

∴∠ABP＝∠APB，

∴∠APB＝∠CPB＝75°，

∵P，Q關于BC對稱，

∴BP＝BQ，

∴∠BPC＝∠BQC＝75°，

∴△APB∽△BPQ，故①正確．

②如圖2中，作△APQ的外接圓⊙O．

當點O與B重合時，⊙O的半徑最小，此時⊙O的面積為4π，

當點P與C重合時，設OA＝OP＝x，

在Rt△AOB中，則有x2＝22+（x﹣1）2，

∴x＝，

此時⊙O的面積＝π，

觀察圖象可知：4π≤S＜π．故②正確，

故選：A．