Question

7．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸分別交于點A（-3，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），頂點為點D，對稱軸DE交x軸于點E，連接AD，AC，DC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）判斷△ADC的形狀，并說明理由．
（3）對稱軸DE上是否存在點P，使點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先確定出拋物線的頂點坐標，從而求出AD，AC，CD，用勾股定理的逆定理判斷即可；
（3）先求出∠ADE的正弦值，再分點P在∠DAB的平分線和∠DAB的外角的平分線兩種情況用PM=PE建立方程求解即可．

解答 解（1）∵點A（-3，0），C（0，3）在拋物線y=-x²+bx+c的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3，
（2）由（1）得拋物線解析式為y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點D（-1，4），
∵C（0，3），A（-3，0），
∴AD=2$\sqrt{5}$，AC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ADC是直角三角形；
（3）存在，
理由：∵拋物線解析式為y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴E（-1，0），
∵A（-3，0），D（-1，4），
∴AE=2，DE=4，AD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
設P（-1，p），
∵點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等
①當點P在∠DAB的角平分線時，
如圖1，

過點P作PM⊥AD，
∴PM=PD×sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p），PE=p，
∵PM=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p）=p，
∴p=$\sqrt{5}$-1，
∴P（-1，$\sqrt{5}$-1），
②當點P在∠DAB的外角的平分線時，
如圖2，

過點P作PM⊥AD，
∴PM=PD×sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p），PE=-p，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p）=-p，
∴p=-$\sqrt{5}$-1，
∴P（-1，-$\sqrt{5}$-1），
綜上所述，存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等，點P（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，直角三角形的判定，三角函數(shù)，三角形的角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出∠ADE的正弦值．