Question

9．如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．則
（1）四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠B=120°，點(diǎn)P、E、F分別為線段AC、AD、DC上的任意1點(diǎn)，則PE+PF的最小值為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判定．
（2）作CM⊥AD交AD的延長線于M，連接PD，當(dāng)PE⊥AD，PF⊥CD時(shí)，PE+PF最短，利用面積法證明PE+PF=CM即可解決問題．

解答 解：（1）∵AB=BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴AB=BC=AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
故答案為菱．
（2）作CM⊥AD交AD的延長線于M，連接PD．

當(dāng)PE⊥AD，PF⊥CD時(shí)，PE+PF最短，
∵∠B=∠ADC=120°，
∴∠CDM=60°，
∵CD=AB=4，∠CMD=90°，
∴sin60°=$\frac{CM}{CD}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
∵S_△ADC=S_△ADP+S_△CDP=$\frac{1}{2}$•AD•PE+$\frac{1}{2}$•CD•PF=$\frac{1}{2}$•AD•CM，
∴PE+PF=CM=2$\sqrt{3}$，
∴PE+PF的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、軸對(duì)稱、等腰三角形的性質(zhì)、面積法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考�？碱}型．