Question

6．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（m-2，0）和B（2m+1，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，對稱軸為l：x=1．
（1）求拋物線解析式．
（2）直線y=kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂），當(dāng)|x₁-x₂|最小時，求拋物線與直線的交點M和N的坐標(biāo)．
（3）在對稱軸直線l上是否存在一點Q，使△ACQ是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件Q點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式求出b的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出c的值，從而求出二次函數(shù)解析式；
（2）將一次函數(shù)與二次函數(shù)組成方程組，得到一元二次方程x²+（k-2）x-1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值，進而求出M（-1，0），N（1，4）；
（3）可設(shè)Q（1，t），則可用t分別表示出AQ、CQ的長，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知對稱軸為x=1，得-$\frac{2×（-1）}$=1，解得b=2，
∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（m-2，0）和B（2m+1，0），即-x²+2x+c=0的解為m-2和2m+1，
∴（m-2）+（2m+1）=2，解得m=1，
將m=1代入（m-2）（2m+1）=-c得，（1-2）（2+1）=-c，解得c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，整理可得x²+（k-2）x-1=0，
∴x₁+x₂=-（k-2），x₁x₂=-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k-2）²+4，
∴當(dāng)k=2時，（x₁-x₂）²的最小值為4，即|x₁-x₂|的最小值為2，
∴x²-1=0，由x₁＜x₂可得x₁=-1，x₂=1，即y₁=4，y₂=0，
∴當(dāng)|x₁-x₂|最小時，拋物線與直線的交點為M（-1，0），N（1，4）；
（3）由（1）可知A（-1，0），C（0，3），
∵Q為對稱軸上的一點，且對稱軸為x=1，
∴設(shè)Q（1，t），
∴AC=$\sqrt{{（-1）}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AQ=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，CQ=$\sqrt{{1}^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$
∵△ACQ為等腰三角形，
∴有AC=AQ、AC=CQ和AQ=CQ三種情況，
①當(dāng)AC=AQ時，即$\sqrt{10}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，解得t=±$\sqrt{6}$，此時Q點坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）；
②當(dāng)AC=CQ時，即$\sqrt{10}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$，解得t=0或t=6，此時Q點坐標(biāo)為（1，0）或（1，6）；
③當(dāng)AQ=CQ時，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+10}$，解得t=1，此時Q點坐標(biāo)為（1，1）；
綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，6）或（1，1）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中利用求得m的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出k的值是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用點Q的坐標(biāo)分別表示出AQ、CQ的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．