Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；
（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；
（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′，經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，

∵PE⊥PF，

∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，

，

∴△PMF≌△PNE（ASA），

∴PE=PF

（2）證明：解：分兩種情況：

①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖1，

由（1）得△PMF≌△PNE，

∴NE=MF=t，PM=PN=1，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，

∴b=2+a，

②0＜t≤1時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，

同理可證△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t，

∴b+a=1+t+1﹣t=2，

∴b=2﹣a．

綜上所述，當(dāng)t＞1時(shí)，b=2+a；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，b=2﹣a；

（3）證明：存在；

①如圖3，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，M的坐標(biāo)為（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=1﹣t，

當(dāng)△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，此時(shí)無(wú)解，

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，

∴ ，

= ，

解得，t=2﹣ 或t=2+ （舍去）；

②如圖4，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，M的坐標(biāo)為（1，0），

∴F′（1﹣t，0）

∵經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ=1﹣ t，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

當(dāng)△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

解得，t= ，

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，

∴ ，

= ，

解得，t= ，

③如圖5，當(dāng)t＞2時(shí)，

∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，

∴F′（1﹣t，0）

∵經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，

∴Q（1﹣ t，0）

∴OQ= t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE

∴NE=MF=t，

∴OE=t﹣1

當(dāng)△OEQ∽△MPF

∴

∴ = ，

無(wú)解，

當(dāng)△OEQ∽△MFP時(shí)，

∴ ，

= ，

解得，t=2+ ，t=2﹣ （舍去）

所以當(dāng)t=2﹣ 或 或 或t=2+ 時(shí)，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似

【解析】（1）連接PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明；（2）分兩種情況：①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上；②當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解，（3）分兩種情況，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t．