Question

18．如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，D是BC的中點，E是直線AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．則在點E的運動過程中，DF的最小值是3．

Answer 1

分析 取線段AC的中點G，連接EG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及角的計算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS證出△FCD≌△ECG，進(jìn)而即可得出DF=GE，再根據(jù)點G為AC的中點，即可得出EG的最小值，此題得解．

解答 解：取線段AC的中點G，連接EG，如圖所示．
∵△ABC為等邊三角形，且AD為△ABC的對稱軸，
∴CD=CG=$\frac{1}{2}$AB=3，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=EC}\\{∠FCD=∠ECG}\\{DC=GC}\end{array}\right.$，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
當(dāng)EG∥BC時，EG最小，
∵點G為AC的中點，
∴此時EG=DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$BC=3．
故答案為3．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過全等三角形的性質(zhì)找出DF=GE．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊是關(guān)鍵．