Question

【題目】已知：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值.

(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

(2)將函數(shù)圖象軸下方部分沿軸向上翻折，得到的新圖象，若點(diǎn)是翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，若關(guān)于的一元二次方程恒有實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)拋物線與軸交于(0，-3)，與軸交于(-1，0)，(3，0)；(2)實(shí)數(shù)的最大值為3

【解析】

(1)求出對稱軸，結(jié)合，可知當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，所以時(shí)，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可；

(2)折疊部分對應(yīng)的解析式：，根據(jù)求出的取值范圍，即，再結(jié)合，即可求得實(shí)數(shù)的最大值.

(1)拋物線的對稱軸為：.

∴，拋物線開口向上，大致圖象如圖所示.

當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；

∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，

解得：.

∴

當(dāng)，，

，x2-2x-3=0，

解得：或，

∴拋物線與軸交于，拋物線與軸交于，.

(2)∵關(guān)于的一元二次方程恒有實(shí)數(shù)根，

∴，即恒成立，

∴恒成立.

∵（1）中的拋物線解析式為y=x2-2x-3，

∴函數(shù)的最小值為=-4，

∵點(diǎn)是(1)中拋物線沿x軸翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，

∴，

∴（k取值的下限），

∴實(shí)數(shù)的最大值為3.