Question

10．如圖1，直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)M、N，且OM=6，∠OMN=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒鐘1個(gè)單位的速度沿折線ONM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t （s），△POM的面積S．
（1）當(dāng)S=$\frac{1}{2}$△OMN時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=6+5$\sqrt{2}$時(shí)，直線x=$\frac{3}{4}$上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C和y軸上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)PD+DC+OC值最小時(shí)，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)PD+DC+OC最小值；
（3）如圖3，有一個(gè)和△NOM全等的△AOB，現(xiàn)將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°（0＜a＜180）形成△A′OB′，直線OB′與直線MN交于點(diǎn)F，直線A′B′交直線MN于點(diǎn)E，在旋轉(zhuǎn)過程中△EFB′為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的度數(shù)與B′點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)S=△OMN面積的一半時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在ON上；點(diǎn)P在MN上，分別求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)當(dāng)t=6+5$\sqrt{2}$時(shí)，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1），再作點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P'，作點(diǎn)O關(guān)于直線x=$\frac{3}{4}$的對(duì)稱點(diǎn)O'，則P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），連接O'P'，交y軸于點(diǎn)D，交直線x=$\frac{3}{4}$于點(diǎn)C，則此時(shí)PD+DC+OC值最小，等于線段O'P'的長，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線O'P'的解析式為y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，進(jìn)而得到C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)PD+DC+OC最小值；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中△EFB′為等腰三角形，需要分三種情況討論：當(dāng)EB'=EF時(shí)，當(dāng)B'E=B'F時(shí)，當(dāng)FE=FB'時(shí)，分別求得a的度數(shù)與B′點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方．

解答 解：（1）分兩種情況討論：
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在ON上時(shí)，根據(jù)S=△OMN面積的一半，可得點(diǎn)P為NO的中點(diǎn)，

∵OM=6，∠OMN=45°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴ON=6，
∴OP=3，
∴P（0，3）；
②如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在MN上時(shí)，根據(jù)S=△OMN面積的一半，可得點(diǎn)P為NM的中點(diǎn)，
∵△MON是等腰直角三角形，OM=ON=6，
∴P（3，3）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）或（3，3）；

（2）∵ON=6，
∴當(dāng)t=6+5$\sqrt{2}$時(shí)，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1），
如下圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P'，作點(diǎn)O關(guān)于直線x=$\frac{3}{4}$的對(duì)稱點(diǎn)O'，則P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），
連接O'P'，交y軸于點(diǎn)D，交直線x=$\frac{3}{4}$于點(diǎn)C，則此時(shí)PD+DC+OC值最小，等于線段O'P'的長，

設(shè)直線O'P'的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{1=-5k+b}\\{0=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{13}}\\{b=\frac{3}{13}}\end{array}\right.$，
∴直線O'P'的解析式為y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{4}$時(shí)，y=$\frac{3}{26}$，即C（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{26}$）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{13}$，即D（0，$\frac{3}{13}$）；
此時(shí)PD+DC+OC=O'P'=$\sqrt{（\frac{3}{2}+5）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{173}}{2}$，
∴PD+DC+OC最小值為$\frac{\sqrt{173}}{2}$；

（3）①當(dāng)EB'=EF時(shí)，∠B'=∠B'FE=∠MFO=45°，
∵∠FMO=45°，
∴此時(shí)∠MOF=90°，即點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，即OF=ON，
故△EFB′不存在，不合題意；
②當(dāng)B'E=B'F時(shí)，如圖，過點(diǎn)B'作B'H⊥OM于H，過點(diǎn)F作FG⊥OM于G，則FG∥B'H，

∵∠EB'F=45°，
∴∠B'FE=∠MFO=67.5°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=67.5°，
∴a的度數(shù)=∠BOB'=112.5°，
此時(shí)MF=MO=6，
∴Rt△MFG中，F(xiàn)G=MG=3$\sqrt{2}$，
∴OG=6-3$\sqrt{2}$，
由FG∥B'H，可得$\frac{OG}{OM}$=$\frac{FG}{B'H}$，即$\frac{6-3\sqrt{2}}{OH}$=$\frac{3\sqrt{2}}{B'H}$，
∴B'H=$\frac{3\sqrt{2}}{6-3\sqrt{2}}$OH=（$\sqrt{2}$+1）OH，
∵Rt△OHB'中，OH²+B'H²=B'O²，
∴OH²+（$\sqrt{2}$+1）²OH²=6²，
解得OH²=18-9$\sqrt{2}$，即B′點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方為18-9$\sqrt{2}$；
③當(dāng)FE=FB'時(shí)，如圖，過點(diǎn)B'作B'H⊥OM于H，

∵∠EB'F=∠FEB'=45°，
∴∠EFB'=90°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=45°，
∴a的度數(shù)=∠BOB'=135°，
此時(shí)，Rt△OHB'中，OH²=$\frac{1}{2}$B'O²=$\frac{1}{2}$×36=18，即B′點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方為18．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形和平行線，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．