Question

15．如圖，0為原點(diǎn)，A（4，0），E（0，3），四邊形OABC，四邊形OCDE都為平行四邊形，OC=5，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)F和DE的中點(diǎn)G，則k的值為9．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩平行四邊形對(duì)邊平行且相等可知：OE=3，OA=4，并由設(shè)出C、B、D的坐標(biāo)；
（2）表示出點(diǎn)F和G的坐標(biāo)，并根據(jù)反比例函數(shù)列等式，求出a與b的關(guān)系：3a=4b，a=$\frac{4b}{3}$；
（3）由OC的長(zhǎng)及點(diǎn)C的坐標(biāo)列式：a²+b²=5²，求出a與b的值；
（4）寫(xiě)出點(diǎn)G或點(diǎn)F的坐標(biāo)，計(jì)算k的值．

解答 解：∵A（4，0），E（0，3），
∴OE=3，OA=4，
由?OABC和?OCDE得：OE∥DC，BC∥OA且DC=OE=3，BC=OA=4，
設(shè)C（a，b），則D（a，b+3）、B（4+a，b），
∵AB的中點(diǎn)F和DE的中點(diǎn)G，
∴G（$\frac{a}{2}，\frac{b+6}{2}$），F(xiàn)（$\frac{8+a}{2}，\frac{2}$），
∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G和F，
則$\frac{a}{2}•\frac{b+6}{2}=\frac{8+a}{2}•\frac{2}$，
3a=4b，a=$\frac{4b}{3}$，
∵OC=5，C（a，b），
∴a²+b²=5²，
$（\frac{4b}{3}）^{2}+^{2}={5}^{2}$，b=±3，
∵b＞0，
∴b=3，a=4，
∴F（6，$\frac{3}{2}$），
∴k=6×$\frac{3}{2}$=9；
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形及反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)及平行四邊形對(duì)邊平行相等的性質(zhì)，利用點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出點(diǎn)B和D的坐標(biāo)是本題的突破口，找出兩組等量關(guān)系列方程是本題的關(guān)鍵；同時(shí)利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的比例系數(shù)．