Question

【題目】如圖①，小聰在學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，則∠BAD=∠OAC．

（1）請(qǐng)你幫小聰證明這個(gè)結(jié)論；

（2）運(yùn)用以上結(jié)論解決問(wèn)題：如圖②，H為△ABC的垂心，若∠ABC的平分線BE⊥HO，⊙O的半徑為10，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10.

【解析】試題分析：（1）作直徑AE，連結(jié)CE，如圖①，根據(jù)圓周角定理得到 然后利用等角的余角相等即可得到結(jié)論；
（2）作直徑，延長(zhǎng)交于，連結(jié) 如圖②，根據(jù)圓周角定理得 再根據(jù)垂心的定義得則 于是可判斷四邊形為平行四邊形，得到接著由得到 加上 所以為等腰三角形，得到 則 然后在中，利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)．

試題解析：(1)證明：作直徑AE，連結(jié)CE，如圖①，

∵AE為直徑，

∵AD⊥BC，

∵∠AEC=∠ABD，

∴∠BAD=∠EAC，

即∠BAD=∠OAC；

(2)作直徑CF，延長(zhǎng)AH交BC于D，連結(jié)AF、BF、BH、OB，如圖②，

∵CF為直徑，

∵AH⊥BC，BH⊥AC，

∴四邊形AHBF為平行四邊形，

∴AF=BH，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

由(1)的結(jié)論得∠ABH=∠CBO，

∴∠HOE=∠OBE，

∵OH⊥BE，

∴△BOH為等腰三角形，

∴BH=OB=10，

∴AF=BH=10，

在中，∵CF=20，AF=10，