Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b分別交x軸正半軸、y軸正半軸于點A、B，點P在邊OA上運動（點P不與點O，A重合），PE⊥AB于點E，點F，P關于直線OE對稱，PE：EA＝3：4．若EF∥OA，且四邊形OPEF的周長為6．

（1）求證：四邊形OPEF為菱形；

（2）求證：OB＝BE；

（3）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）y＝﹣x+3．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的性質以及平行線的性質得出∠EOP=∠OEP，從而得出OP=PE，進而求得OP=OF=PE=EF，即可證得四邊形OPEF是菱形；

（2）求得∠BOE=∠BEO，根據(jù)等角對等邊即可證得結論；

（3）根據(jù)題意求得AE=2，根據(jù)勾股定理求得AP，即可求得OA，得出A的坐標，設OB=BE=x，則AB=x+2，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理列出x2+42=（2+x）2，解得x=3，得出B的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)y=kx+b的表達式．

解：如圖：

（1）∵△OPE≌△OFE，

∴OP＝OF，PE＝EF，∠OEF＝∠OEP，

∵EF∥OA，

∴∠FEO＝∠EOP，

∴∠EOP＝∠OEP，

∴OP＝PE，

∴OP＝OF＝PE＝EF，

∴四邊形OPEF是菱形；

（2）∵PE⊥AB，

∴∠BEP＝90°，

∴∠BEP＝∠BOA＝90°，

∵∠EOP＝∠OEP，

∴∠BOE＝∠BEO，

∴OB＝BE；

（3）∵四邊形OPEF的周長為6，

∴OP＝PE＝

∵PE：EA＝3：4，

∴AE＝2，

在Rt△PAE中，AE＝2，PE＝，

∴AP＝＝＝，

∴AO＝OP+AP＝+＝4，

∴A（4，0），

設OB＝BE＝x，則AB＝x+2，

在Rt△AOB中，x2+42＝（2+x）2，

解得x＝3，

∴OB＝3，

∴B（0，3），

∵一次函數(shù)y＝kx+b分別交x軸正半軸、y軸正半軸于點A、B，

∴，解得：，

∴一次函數(shù)y＝kx+b的表達式為y＝﹣+3．