Question

14．已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=1，另兩邊b，c的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值得到△=（k-2）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△≥0，則根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）把x=1代入方程得出關(guān)于k的方程，求得k的數(shù)值即可．已知a=6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長(zhǎng)．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)

解答 解：（1）證明：∵△=（k+2）²-4×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴無(wú)論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）①若a=1為底邊，則b，c為腰長(zhǎng)，則b=c，則△=0．
∴（k-2）²=0，解得：k=2．
此時(shí)原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時(shí)△ABC三邊為1，2，2能構(gòu)成三角形，
故周長(zhǎng)為1+2+2=5；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)b=a=1
代入方程：1²-（k+2）+2k=0
解得k=1，
則原方程化為x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
即b=1，c=2，
此時(shí)△ABC三邊為1，1，2不能構(gòu)成三角形，則舍去；
∴△ABC的周長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．