Question

9．已知關于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$無解，實數a、b滿足a≠b，ab≠0，求$\frac{a}$+$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 根據關于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$無解，實數a、b滿足a≠b，ab≠0，可以得到a與b的值，從而可以得到$\frac{a}$+$\frac{a}$的值．

解答 解：$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$
方程兩邊同乘以x（x+2）（x-2），得
x（x-2）（a+1）（b+1）+x（x+2）（a-1）（b-1）=2ab（x+2）（x-2）
化簡，得
x²-2（a+b）x+4ab=0
（x-2a）（x-2b）=0
解得，x=2a或x=2b，
∵關于x的方程$\frac{（a+1）（b+1）}{x+2}$+$\frac{（a-1）（b-1）}{x-2}$=$\frac{2ab}{x}$無解，
∴x=-2或x=2或x=0，
∵實數a、b滿足a≠b，ab≠0，
∴a≠b≠0，
∴2a=2，2b=-2或2a=-2，2b=2，
得a=1，b=-1或a=-1，b=1，
當a=1，b=-1時，$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{-1}{1}+\frac{1}{-1}=-1-1=-2$，
當a=-1，b=1時，$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{-1}+\frac{-1}{1}=-1-1=-2$，
由上可得，$\frac{a}$+$\frac{a}$的值是-2．

點評 本題考查分式方程的解，解題關鍵是明確題意，知道分式方程無解是解出來的方程無意義，會運用分類討論的數學思想解答問題．