Question

6．如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別交于點E、F．

（1）判斷$\frac{AE}{EC}$與$\frac{BF}{FC}$是否相等，請說明理由．
（2）如圖2，連結(jié)EF，若AE：EC=1：2，且△CEF的面積為4．
①求反比例函數(shù)的解析式；
②如圖3，P點坐標為（2，-2），在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上是否存在點M、N（M在N的左側(cè)），使得以O(shè)、P、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)OB=a，OA=b，用a、b表示出點E、F的坐標，再找出AE、EC、BF、CF，由此即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)AE：EC=1：2，結(jié)合（1）結(jié)論以及所設(shè)未知數(shù)，可得出CE、CF的長，再結(jié)合△CEF的面積為4，即可求出ab值，從而可得出S_△AOE的值，結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論；
②假設(shè)存在，分OP為邊和OP為對角線來考慮．當OP為邊時，設(shè)出點M的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出點N的坐標，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點M的坐標；當OP為對角線時，設(shè)出點M、N的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)--對角線互相平分可求出點M的坐標．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）相等．理由如下：
設(shè)OB=a，OA=b，則E（$\frac{k}$，b），F(xiàn)（a，$\frac{k}{a}$），
∴AE=$\frac{k}$，EC=a-$\frac{k}$，BF=$\frac{k}{a}$，CF=b-$\frac{k}{a}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{k}}{a-\frac{k}}=\frac{k}{ab-k}$，$\frac{BF}{FC}$=$\frac{\frac{k}{a}}{b-\frac{k}{a}}$=$\frac{k}{ab-k}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{BF}{FC}$．
（2）①∵AE：EC=1：2，
∴BF：FC=1：2．
根據(jù)（1）所設(shè)，CE=$\frac{2}{3}$a，CF=$\frac{2}{3}$b，
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$•CE•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$b=4，
∴ab=18，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a×b=$\frac{1}{6}$ab=3=$\frac{1}{2}$k，
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$．
②假設(shè)存在．
當OP是平行四邊形的邊時，如圖4、5所示．
∵點O（0，0），點P（2，-2），
∴設(shè)點M（a，$\frac{6}{a}$），則點N（a+2，$\frac{6}{a}$-2），
∵點N在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴（a+2）×（$\frac{6}{a}$-2）=6，
解得：a=-1-$\sqrt{7}$或a=-1+$\sqrt{7}$，
∴點M的坐標為（-1-$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）或（-1+$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$）；
當OP為對角線時，如圖6所示．
設(shè)M（a，$\frac{6}{a}$），N（b，$\frac{6}$），
∵OP的中點坐標為（1，-1），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{\frac{6}{a}+\frac{6}=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{7}}\\{b=1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1+\sqrt{7}}\\{b=1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$（舍去），
∴點M的坐標為（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）．
綜上可知：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上存在點M、N（M在N的左側(cè)），使得以O(shè)、P、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為（-1-$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）、（-1+$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$）或（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的結(jié)合意義以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用含a、b的代數(shù)式表示出來AE、EC、BF、CF；（2）①求出ab值；②分情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知兩點的坐標找出另外兩點坐標間的關(guān)系是關(guān)鍵．