Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x 軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y 軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線l．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）若點E 是對稱軸l 右側(cè)拋物線上一點，且S△ADE=2S△AOC ， 求點E 的坐標(biāo)；
（3）如圖2，連接DC 并延長交x 軸于點F，設(shè)P 為線段BF 上一動點（不與B、F 重合），過點P 作PQ∥BD 交直線BC 于點Q，將直線PQ 繞點P 沿順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后，所得的直線交DF 于點R，連接QR．請直接寫出當(dāng)△PQR 與△PFR 相似時點P 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得 ，解得 ，

∴二次函數(shù)的表達式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：設(shè)E（m，m2﹣2m﹣3），過點E作EM∥x軸，交AD于點M，（如圖1）

由y=x2﹣2x﹣3=（ x﹣1）2﹣4得頂點D（1，﹣4），C（0，﹣3），

∴ ，

∴S△ADE=2S△AOC=3，

∵A（﹣1，0）、D（1，﹣4），

∴直線AD為：y=﹣2x﹣2，

∵E（m，m2﹣2m﹣3），

∴M（ ，m2﹣2m﹣3），

∴EM= ，

∴S△ADE ×4×EM=2EM=m2﹣1=3，

解得m=±2（其中m=﹣2舍去），

∴E（2﹣3）；

（3）

解：∵C（0，﹣3），D（1，﹣4），

∴直線CD的解析式為：y=﹣x﹣3．

當(dāng)y=0時，x=﹣3，

故F（0，﹣3），

∴OF=OC=3，

∴∠OFC=45°，即∠PFR=45°．

∵PQ∥BD，

∴∠FPQ≠90°，

∴∠FPR≠45°，

∴當(dāng)△PQR 與△PFR 相似時：

△PQR∽△FRP，則

點P的坐標(biāo)是：P1（ ，0）、P2（0，0）．

【解析】（1）由A、B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達式；（2）設(shè)E（m，m2﹣2m﹣3），過點E作EM∥x軸，交AD于點M，由條件可得△AOC的面積，從而可求得△ADE的面積，利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式，則可用m表示出EM的長，從而可用m表示出△ADE的面積，從而可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；（3）由C、D坐標(biāo)可求得直線CD的解析式，從而可求得F點坐標(biāo)，可求得OF=OC，可得∠RFP=∠RPQ=45°，由△PQR 與△PFR 相似得到：△PQR∽△FRP 或△PQR∽△FPR，結(jié)合相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到點P的坐標(biāo)．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達式和三角形的面積，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題．