Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=a（x+1）（x-3）的圖象從左到右依次交x軸于點A、B，交y軸于點C，該函數的最大值為4．
（1）求a的值；
（2）點P在第一象限內的圖象上，其橫坐標為t，AP交y軸的正半軸于點D，點Q在射線BA上，BQ=OA+2OD，設點Q的橫坐標為d，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點E在y軸的負半軸上，OE=2OA，直線EQ交直線PC于點F，求t為何值時，FC=FQ．

Answer 1

分析 （1）先確定出頂點坐標，再用待定系數法求出函數解析式；
（2）先確定出直線AP的解析式，求出點Q的坐標，再確定出BQ解析式即可；
（3）先判斷出△FMC≌△FNQ，再求出CP解析式，最后分點Q在原點左側和右側兩種情況計算即可．

解答 解（1）拋物線y=a（x+1）（x-3）的圖象從左到右依次交x軸于點A、B，
當y=0時，解得x=-1或x=3
∴A（-1，0），B（3，0）
∴拋物線的對稱軸為直線x=1
∵函數的最大值為4
∴拋物線的頂點坐標為（1，4）
∴（1+1）（1-3）a=4
∴a=-1
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
（2）∵P（t，-（t+1）（t-3）），A（-1，0）
∴直線AP的解析式為y=（3-t）x+3-t
∴D（0，3-t）
∴OD=3-t，OA=1，
∴BQ=OA+2OD=1+2（3-t）=7-2t
∴d=3-（7-2t）=2t-4
（0＜t＜3）
（3）如圖2，

過P作PG⊥y軸于點G
∴G（0，-t²+2t+3），
∴CG=t²-2t，PG=t，
∴tan∠PCG=t-2
∵OE=2OA=2，
∴E（0，-2），
∴tan∠EQO=$\frac{2t-4}{2}$=t-2=tan∠PCG
∴∠EQO=∠PCG，
∴∠FQN=∠EQO=∠PCG
過F作FM⊥y軸于點M，FN⊥x軸于點N，
∴∠FMC=∠FNQ=90°
∵FC=FQ，
∴△FMC≌△FNQ
∴FM=FN
∵C（0，3），P（t，-（t+1）（t-3））
∴CP的解析式為y=（2-t）x+3
當點Q在點O右側時，
設F（m，m），
∴3-m=m-（2t-4）
∴m=$\frac{2t-1}{2}$，
∴$\frac{2t-1}{2}$×（2-t）+3=$\frac{2t-1}{2}$
解得t=-1（舍）或t=$\frac{5}{2}$
當點Q在O點左側時，
設F（-n，n），3-n=2t-4+n
∴n=$\frac{7-2t}{2}$，
∴$\frac{7-2t}{2}$×（2-t）+3=$\frac{7-2t}{2}$
∴t=5（舍）或t=$\frac{3}{2}$
∴t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{2}$．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，全等三角形的判定和性質，三角函數，解本題的關鍵是用三角函數確定線段，作輔助線是解本題的難點．