Question

11．如圖1，△ABC中，D，E，F(xiàn)三點(diǎn)分別在AB，AC，BC三邊上，過點(diǎn)D的直線與線段EF的交點(diǎn)為點(diǎn)H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．
（1）求證：DE∥BC；
（2）在以上條件下，若△ABC及D，E兩點(diǎn)的位置不變，點(diǎn)F在邊BC上運(yùn)動(dòng)使得∠DEF的大小發(fā)生變化，保證點(diǎn)H存在且不與點(diǎn)F重合，記∠C=α，探究：要使∠1=∠BFH成立，∠DEF應(yīng)滿足何條件（可以是便于畫出準(zhǔn)確位置的條件）．直接寫出你探究得到的結(jié)果，并根據(jù)它畫出符合題意的圖形．
（1）證明：
（2）要使∠1=∠BFH成立，∠DEF應(yīng)滿足∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$（或點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置）．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根據(jù)外角性質(zhì)，將∠1轉(zhuǎn)化為∠3+∠4，再根據(jù)∠1與∠2互補(bǔ)，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后將∠3=∠C代入即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況討論：①點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置時(shí)，∠1=∠BFH成立；②當(dāng)∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$時(shí)，∠1=∠BFH也成立．

解答 解：（1）證明：如圖1，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠4．
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=∠C，
∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，
∴DE∥BC；

（2）分兩種情況：
情況一：如圖2，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠BFE=∠2+∠C，
當(dāng)∠1=∠BFH時(shí)，∠1=∠2+∠C，②
由①②得，∠3+∠DEF=∠2+∠C，
∵∠3=∠C，
∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置時(shí)，∠1=∠BFH成立．

情況二：如圖2，∵∠1是△DEH的外角，∠C=α=∠3，
∴∠1=∠3+∠DEF=α+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠2=∠BFE-∠C，
當(dāng)∠1=∠BFH時(shí)，∠2=∠1-∠C=（∠3+∠DEF）-∠C，
∵∠C=α=∠3，
∴∠2=α+∠DEF-α=∠DEF，②
將①、②代入∠1+∠2=180°，可得：α+∠DEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$，
∴當(dāng)∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$時(shí)，∠1=∠BFH也成立．
綜上所述，當(dāng)∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$（或點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到∠DEC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)位置）時(shí)，∠1=∠BFH成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定方法，以及三角形的外角性質(zhì)，運(yùn)用角的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．