Question

【題目】[數學實驗探索活動]

實驗材料現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長方形硬紙片．

實驗目的：

用若干塊這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，得到相應的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．

例如，選取正方形、長方形硬紙片共 6 塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積， 寫出相應的等式有 a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)或 (a+2b)(a+b) =a2+3ab+2b2．

問題探索：

(1) 小明想用拼圖的方法解釋多項式乘法(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2 ，那么需要兩種正方形紙片 張，長方形紙片 張；

(2)選取正方形、長方形硬紙片共 8 塊，可以拼出一個如圖③的長方形，計算圖③的面積，并寫出相應的等式；

(3)試借助拼圖的方法，把二次三項式 2a2+5ab+2b2 分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方框內.

Answer 1

【答案】（1）3,3；（2）a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）；（3）2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）．畫圖見解析.

【解析】

（1）根據多項式(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2可發(fā)現(xiàn)矩形有兩個小正方形，一個大正方形和三個小長方形.

（2）正方形、長方形硬紙片一共八塊，面積等于長為a+3b，寬為a+b的矩形面積.所以a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）

（3）正方形、長方形硬紙片共9塊，畫出圖形，面積等于長為a+2b，寬為2a+b的矩形面積，則2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）

（1）∵(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2；

∴拼圖需要兩個小正方形，一個大正方形和三個小長方形

∴需要3個正方形紙片，3個長方形紙片.

（2）∵大長方形長為a+3b，寬為a+b

∴面積S=（a+3b）（a+b）

又∵大長方形由三個大正方形，一個小正方形和四個小長方形組成

∴面積S= a2+4ab+3b2

∴a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）

（3）∵由2b2+5ab+2a2可知

大長方形由兩個小正方形和兩個大正方形以及五個長方形組成，如圖

∴2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）．