Question

【題目】如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，6），（0，3），點(diǎn)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AP的垂線，過點(diǎn)B作BP的垂線，兩垂線交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為線段PQ的中點(diǎn)．

（1）求證：A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上；

（2）當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)（2，0）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（3，0）時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段QM掃過圖形的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) Q的坐標(biāo)為（3，9）;(3).
【解析】（1）解：連接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點(diǎn)
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。
（2）解：作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，

∵AM＝BM
∴G是AB的中點(diǎn)，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M到x軸的距離始終為4.5
則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為9，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為9，
當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，

HB＝9－3＝6，設(shè)OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3 ，9）
（3）解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在P1（2，0）時(shí)，Q1（4，9）則M1（3，4.5）
當(dāng)點(diǎn)P在P2（3，0）時(shí)，Q2（6，9），則M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝ －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

其面積為：×(＋2)×4.5＝.

【解析】

根據(jù)已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根據(jù)這個(gè)條件結(jié)合題意直接解答此題.

（1）解：連接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點(diǎn)
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。
（2）解：作MG⊥y軸于G，MC⊥x軸于C，

∵AM＝BM
∴G是AB的中點(diǎn)，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)M到x軸的距離始終為4.5
則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為9，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為9，
當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)則PQ⊥x軸，作QH⊥y軸于H，

HB＝9－3＝6，設(shè)OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3 ，9）
（3）解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在P1（2，0）時(shí)，Q1（4，9）則M1（3，4.5）
當(dāng)點(diǎn)P在P2（3，0）時(shí)，Q2（6，9），則M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝ －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1

其面積為：×( ＋2)×4.5＝.