【題目】如圖,長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)B(1,4)和點(diǎn)E(3,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D在線段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在條件(2)下,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)為最小,并求△BDM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(4)在條件(2)下,從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上,是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得△PAD的面積最大?若存在,請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣2x2+6x;(2)D(0,1);(3)△BDM的周長(zhǎng)最小值為,M(,);(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
【解析】
試題分析:(1)將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b的方程組,求得a、b的值,從而可得到拋物線的解析式;(2)依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0,然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO,從而得到OD=AO=1,于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.先求得拋物線的對(duì)稱軸方程,從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo),由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí),△BMD的周長(zhǎng)有最小值,依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和B′D的長(zhǎng)度,從而得到三角形的周長(zhǎng)最小值,然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B′的解析式,然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo);(4)過點(diǎn)F作FG⊥x軸,垂足為G.設(shè)點(diǎn)F(a,﹣2a2+6a),則OG=a,F(xiàn)G=﹣2a2+6a.然后依據(jù)S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
試題解析:(1)將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:,
解得:a=-2,b=6,
拋物線的解析式為y=﹣2x2+6x.
(2)如圖1所示;
∵BD⊥DE,
∴∠BDE=90°.
∴∠BDC+∠EDO=90°.
又∵∠ODE+∠DEO=90°,
∴∠BDC=∠DE0.
在△BDC和△DOE中,,
∴△BDC≌△DEO.
∴OD=AO=1.
∴D(0,1).
(3)如圖2所示:作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.
∵x=﹣=,
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(2,4).
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于x=對(duì)稱,
∴MB=B′M.
∴DM+MB=DM+MB′.
∴當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí),MD+MB有最小值(即△BMD的周長(zhǎng)有最小值).
∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知:BD=,DB′=,
∴△BDM的最小值=.
設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b.
將點(diǎn)D、B′的坐標(biāo)代入得:,
解得:k=,b=1.
∴直線DB′的解析式為y=x+1.
將x=代入得:y=.
∴M(,).
(4)如圖3所示:過點(diǎn)F作FG⊥x軸,垂足為G.
設(shè)點(diǎn)F(a,﹣2a2+6a),則OG=a,F(xiàn)G=﹣2a2+6a.
∵S梯形DOGF=(OD+FG)OG=(﹣2a2+6a+1)×a=﹣a3+3a2+a,S△ODA=ODOA=×1×1=,S△AGF=AGFG=﹣a3+4a2﹣3a,
∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣.
∴當(dāng)a=時(shí),S△FDA的最大值為.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
求證:.
該同學(xué)仔細(xì)分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故,設(shè)PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來(lái),再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算,消去m,n即可得證.
(1)請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫出證明過程.
(2)利用題中的結(jié)論,解答下列問題:
在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中,O為對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點(diǎn),連接BE,CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,BM,CM分別交AD于點(diǎn)G,H,如圖2所示,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在學(xué)校組織的社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中負(fù)責(zé)了解他所居住的小區(qū)560戶居民的家庭收入情況.他從中隨機(jī)調(diào)查了一定戶數(shù)的家庭收入情況(收入取整數(shù),單位:元),并繪制了如下的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 百分比 |
600≤x<800 | 2 | 5% |
800≤x<1000 | 6 | 15% |
1000≤x<1200 | a | 40% |
1200≤x<1400 | 9 | 22.5% |
1400≤x<1600 | b | c |
1600≤x<1800 | 2 | 5% |
合計(jì) | 40 | 100% |
根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:
(1)頻數(shù)分布表中:a= ,b= ,c= .
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
(3)請(qǐng)估計(jì)該居民小區(qū)家庭屬于中等收入(大于1000不足1600元)的大約有多少戶?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處,DF交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:△DCE≌△BFE;
(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“愛我永州”中學(xué)生演講比賽中,五位評(píng)委分別給甲、乙兩位選手的評(píng)分如下:
甲:8、7、9、8、8
乙:7、9、6、9、9
則下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A.甲、乙得分的平均數(shù)都是8
B.甲得分的眾數(shù)是8,乙得分的眾數(shù)是9
C.甲得分的中位數(shù)是9,乙得分的中位數(shù)是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小紅同學(xué)要測(cè)量A、C兩地的距離,但A、C之間有一水池,不能直接測(cè)量,于是她在A、C同一水平面上選取了一點(diǎn)B,點(diǎn)B可直接到達(dá)A、C兩地.她測(cè)量得到AB=80米,BC=20米,∠ABC=120°.請(qǐng)你幫助小紅同學(xué)求出A、C兩點(diǎn)之間的距離.(參考數(shù)據(jù)≈4.5, ≈4.6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列有關(guān)圓的一些結(jié)論:①與半徑長(zhǎng)相等的弦所對(duì)的圓周角是30°;②圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)與該圓半徑相等;③垂直于弦的直徑平分這條弦;④平分弦的直徑垂直于弦.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩組數(shù)據(jù):a1,a2,a3,a4,a5和a1-1,a2-1,a3-1,a4-1,a5-1,下列判斷中錯(cuò)誤的是( )
A. 平均數(shù)不相等,方差相等 B. 中位數(shù)不相等,標(biāo)準(zhǔn)差相等
C. 平均數(shù)相等,標(biāo)準(zhǔn)差不相等 D. 中位數(shù)不相等,方差相等
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