Question

3．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為A（1，1）、B（5，1）、C（5，2）、D（1，2），點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（6，0）、（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿EO勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O后立即以原來的速度沿OE返回；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿FO勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQM．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）當(dāng)線段PM經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在線段AB上時(shí)，求t的值；
（3）設(shè)△PQM與矩形ABCD重合部分圖形的面積為S，在點(diǎn)P由E向O運(yùn)動(dòng)過程中（含點(diǎn)O），當(dāng)重合部分的圖形存在時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，0），線段PM與線段AB的交點(diǎn)為N，請(qǐng)寫出使得△OGN為等腰三角形時(shí)所有t的值．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程即可解決問題．
（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，點(diǎn)M不可能在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，路程方程即可解決．
（3）是分段函數(shù)，當(dāng)1＜t$≤\frac{4}{3}$時(shí)，如圖1中根據(jù)S=S_△KGB求解，當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時(shí)，如圖2中，作ML⊥AB于L，延長(zhǎng)ML交PQ于T，根據(jù)S=S_△MGL+S_梯形MLBK求解，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3中，根據(jù)S=S_梯形HGRK求解．
（4）分當(dāng)ON=OG時(shí)，ON=NG時(shí)分別列出方程即可解決問題．

解答 解；（1）當(dāng)線段PM經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，t=$\frac{2}{2}$=1s，
∴t=1s時(shí)，線段PM經(jīng)過點(diǎn)B
（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，點(diǎn)M不可能在線段AB上，
當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，則2t+t=12，t=4s．
∴t=4s時(shí)，點(diǎn)M在線段AB上．
（3）如圖1中，設(shè)PM交AB、BC于G、K，延長(zhǎng)CB交PQ于H，則PH=KH=2t-1，

當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，2t-1=3-t，解得t=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)1＜t$≤\frac{4}{3}$時(shí)，S=S_△KGB=$\frac{1}{2}$（2t-2）²=2（t-2）²，
當(dāng)QM經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，t=2，此時(shí)點(diǎn)M在線段CD上，
當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時(shí)，如圖2中，作ML⊥AB于L，延長(zhǎng)ML交PQ于T，則S=S_△MGL+S_梯形MLBK

∵PT=TQ=MT=$\frac{1}{2}$（2t+2-t）=$\frac{1}{2}$（t+2），
∴ML=GL=$\frac{1}{2}$（t+2）-1=$\frac{1}{2}$t，HT=LB=$\frac{1}{2}$（t+2）-（3-t）=$\frac{3}{2}t$-2，KB=HK-1=2-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t+2-t）•（$\frac{3}{2}$t-2）=-$\frac{1}{4}$t²+2t-2
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖3中，S=S_梯形HGRK，

∵GR=PQ-2，HK=PQ-4，
∴GR=t，KH=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（t+t-2）•1=t-1．
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{2（t-2）^{2}}&{（1＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t-2}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\\{t-1}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$，
（4）如圖4中，

當(dāng)ON=OG時(shí)，作NM⊥OG垂足為M．
則OG=ON=4，OM=$\sqrt{O{N}^{2}-N{M}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∵PM=NM=1，
∴OP=$\sqrt{15}$-1，
∴6-2t=$\sqrt{15}$-1或2t-6=$\sqrt{15}$-1，
∴t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{15}}{2}$（不合題意舍棄），
當(dāng)ON=NG時(shí)，OM=MG=2，OP=1，
∴6-2t=1或2t-6=1，
∴t=$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$，
綜上所述t=$\frac{7-\sqrt{15}}{2}$或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$時(shí)，△ONG是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵點(diǎn)，學(xué)會(huì)正確畫出圖形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考?jí)狠S題．