Question

16．小明所在數(shù)學(xué)興趣小組，計劃用尺規(guī)作圖作直角三角形，且這個直角三角形的一條邊為2倍的單位長度，另一條邊為4倍的單位長度．
（1）請你幫忙小明作出所有滿足條件的直角三角形（全等的圖形記為1個）；
（2）求所得直角三角形內(nèi)切圓的半徑長．

Answer 1

分析 （1）按照尺規(guī)作圖的方法畫出圖形（分為4倍單位長度為直角邊和4倍單位長度為斜邊兩種情況）；
（2）設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑長x．分兩種情況根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)以及勾股定理得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依照題意畫出圖形，如下圖所示：

4倍單位長度為直角邊；4倍單位長度為斜邊．
（2）設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑長x．
①當(dāng)4倍單位長度為直角邊時，有（2-x）+（4-x）=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$，
解得：x=3-$\sqrt{5}$；
②當(dāng)4倍單位長度為斜邊時，有（2-x）+（$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$-x）=4，
解得：x=$\sqrt{3}$-1．
故所得直角三角形內(nèi)切圓的半徑長為3-$\sqrt{5}$或$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了尺規(guī)作圖以及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是：（1）分情況畫圖；（2）分情況得出關(guān)于x的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)找出關(guān)于內(nèi)切圓的半徑的一元一次方程是關(guān)鍵．