Question

6．如圖，等腰直角三角形ABC，過(guò)點(diǎn)A在AB左側(cè)作AE⊥AB，并構(gòu)造正方形AEDB，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，且AB=AF，過(guò)點(diǎn)A作AG平分∠BAC，AH⊥EF，分別交EF于點(diǎn)G，H，連接DG．
（1）若AF=2$\sqrt{2}$，求CF的長(zhǎng)．
（2）求證：DG+AG=$\sqrt{2}$EG．
（3）如圖，在等腰直角三角形ABC中，若過(guò)點(diǎn)A在AB右側(cè)作AN⊥AB，AM⊥CN，連接BM，直接寫出$\frac{BM}{CM+AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，利用相等的邊角關(guān)系證出△DEM≌△EAH（AAS），由此即可得出DM=EH，EM=AH，再通過(guò)角的計(jì)算找出△AHG、△DMG均為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系即可證出DG+AG=$\sqrt{2}$EG；
（3）以AC為直徑作圓，延長(zhǎng)MN到Q，使得MQ=AM，連接AQ，根據(jù)∠AMC=∠ABC=90°，可得出點(diǎn)B、M在圓上，根據(jù)圓周角定理即可得出∠AMB=∠ACB=45°，由∠AMN=90°，AM=MQ可得出△AMQ為等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠AQM=45°=∠AMB，再通過(guò)角的計(jì)算得出∠BAM=∠CAQ，由此即可得出△BAM∽△CAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{BM}{CM+AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=AF=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∴CF=AC-AF=4-2$\sqrt{2}$；
（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，
則∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠AEH=90°，
∴∠EDM=∠AEH，
∵AH⊥EF，
∴∠AHE=∠DME=90°，∠FAH=$\frac{1}{2}$∠EAF=$\frac{1}{2}$×（90°+45°）=67.5°，
在△DEM和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠AEH}\\{∠DME=∠EHA}\\{DE=EA}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△EAH（AAS），
∴DM=EH，EM=AH，
∵AG平分∠BAC，
∴∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠HAG=∠FAH-∠FAG=45°，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴AH=HG，AG=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$EM，
∴EM=HG，
∴EH=GM，
∴DM=MG，
即△DMG是等腰直角三角形，
∴DG=$\sqrt{2}$MG，
∴DG+AG=$\sqrt{2}$GM+$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$（GM+EM）=$\sqrt{2}$EG；
（3）解：如圖2，以AC為直徑作圓，延長(zhǎng)MN到Q，使得MQ=AM，連接AQ．
∵AM⊥CN，△ABC為等腰直角三角形，
∴∠AMC=∠AMN=90°，∠ABC=90°，
∴點(diǎn)B、M在圓上，
∴∠AMB=∠ACB=45°．
∵∠AMN=90°，AM=MQ，
∴△AMQ為等腰直角三角形，
∴∠AQM=45°=∠AMB．
又∵∠BAM=∠BAC+∠CAM=45°+∠CAM，∠CAQ=∠CAM+∠MAQ=∠CAM+45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△BAM∽△CAQ，
∴$\frac{BM}{CQ}=\frac{BA}{CA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵CQ=CM+MQ=CM+AM，
∴$\frac{BM}{CM+AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)勾股定理算出AC的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出DG+AG=$\sqrt{2}$GM+$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$（GM+EM）=$\sqrt{2}$EG；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出比例關(guān)系式．本題屬于難題，考到較多的知識(shí)點(diǎn)，解決該題型題目時(shí)，構(gòu)建等腰直角三角形以及圓，利用等腰直角三角形的性質(zhì)找出邊與邊的關(guān)系以及利用圓周角定理找出相等的角是關(guān)鍵．