Question

1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點G、H分別是BC、CD邊上的點，直線GH與AB、AD的延長線相交于點E、F，連接AG、AH．
（1）當BG=2，DH=3時，則GH：HF=1：3，∠AGH=90°；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的長；
（3）設BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y與x之間的函數關系式，并求出y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根據DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根據相似三角形的性質可得GH：HF的值，最后根據勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；
（2）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根據CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根據相似三角形的性質以及勾股定理，求得DF、EG的長；
（3）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，得出CG=4-x，CH=4-y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，進而得出△ABG∽△GCH，根據相似三角形的對應邊成比例，可得y與x之間的函數關系式為：y=$\frac{1}{4}$x²-x+4，最后運用二次函數的性質求得3≤y＜4即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3，
∴CG=2，CH=1，
∵DF∥CG，
∴△FDH∽△GCH，
∴$\frac{GH}{FH}$=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∵Rt△GCH中，GH²=CG²+CH²=5，
Rt△ABG中，AG²=AB²+BG²=20，
Rt△ADH中，AH²=AD²+DH²=25，
∴GH²+AG²=AH²，
∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．
故答案為：1：3，90；

（2）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，
∴CG=1，CH=3，
∵CG∥DF，CH∥BE，
∴△CGH∽△BGE∽△DFH，
∴$\frac{GC}{HC}$=$\frac{BG}{BE}$=$\frac{DF}{DH}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{BE}$=$\frac{DF}{1}$，
解得BE=9，DF=$\frac{1}{3}$，
∴Rt△BEG中，EG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$；

（3）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，
∴CG=4-x，CH=4-y，
由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，
∴△ABG∽△GCH，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BG}{CH}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴y與x之間的函數關系式為：y=$\frac{1}{4}$x²-x+4，
∵$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{4-y}$，
∴4-y=$\frac{x（4-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+x，
∴當x=-$\frac{1}{2×（-\frac{1}{4}）}$=2時，4-y有最大值，且最大值為-$\frac{1}{4}$×4+2=1，
∴0＜4-y≤1，
解得3≤y＜4．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及其逆定理，正方形的性質以及二次函數的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是運用相似三角形的對應邊成比例，列出比例式進行求解．確定一個二次函數的最值時，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．