Question

8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足（a+b）²+|a-b+6|=0，線段AB交y軸于F點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn)，若ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，如圖 2，求∠AMD的度數(shù)；
（3）如圖 3，（也可以利用圖 1）①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP和△ABC的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出a和b，即可得到點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；
（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可得則∠NDM-∠OAN=45°，再利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得180°-∠NMD=135°，可求得∠NMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，設(shè)F（0，t），根據(jù)S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，則可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；②先計(jì)算△ABC的面積，再分點(diǎn)P在y軸上和在x軸上討論．當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)P（0，y），利用S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，可解得y的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)P（x，0），根據(jù)三角形面積公式得，同理可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵（a+b）²+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；
（2）如圖2，

∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=$\frac{1}{2}$∠FAO，∠NDM=$\frac{1}{2}$∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，

設(shè)F（0，t），
∵S_△AOF+S_△BOF=S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•t•3=$\frac{1}{2}$×3×3，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）；
②存在．
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×7×3=$\frac{21}{2}$，
當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)P（0，y），
∵S_△ABP=S_△APF+S_△BPF，
∴$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3+$\frac{1}{2}$•|y-$\frac{3}{2}$|•3=$\frac{21}{2}$，解得y=5或y=-2，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）；
當(dāng)P點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)P（x，0），
則$\frac{1}{2}$•|x+3|•3=$\frac{21}{2}$，解得x=-10或x=4，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，0），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）或（-10，0）．

點(diǎn)評 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，在（2）利用三角形內(nèi)角和及角平分線的性質(zhì)等得到∠NDM+∠DNM=135°是解題的關(guān)鍵，在（3）中由三角形的面積得到關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．