Question

17．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問(wèn)題：
（1）將一塊含45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于點(diǎn)C，D，在圖1中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，求：△POD與△PDG的面積之比；
（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與OB交于點(diǎn)D，OD=1，另一直角邊與直線OA、OB分別交于點(diǎn)C、E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，在圖2中作出圖形，并求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先判定△POD∽△PDG，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件就可以求出△POD與△PDG的面積比；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在OA上時(shí)；②當(dāng)C在OA延長(zhǎng)線上時(shí)，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，則∠HPN=90°，
∴∠HPC+∠CPN=90°，
∵∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分線，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD，
∴∠PDG=45°，
∵∠POD=45°，
∴∠PDG=∠POD，
∵∠GPD=∠DPO，
∴△POD∽△PDG，
∴$\frac{{S}_{△POD}}{{S}_{△PDG}}$=（$\frac{PD}{PG}$）²=$\frac{4}{3}$；

（2）分兩種情況：
①如圖，若PC與邊OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO，
當(dāng)△PDE∽△OCD時(shí)，∠CDO=∠PED，
∴CE=CD，
∵CO⊥ED，
∴OE=OD，
∴OP=$\frac{1}{2}$ED=OD=1；
②如圖，若PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線相交，
過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，
∵∠PED＞∠EDC，
當(dāng)△PDE∽△ODC時(shí)，∠PDE=∠ODC，
∵∠OEC=∠PED，
∴∠PDE=∠HCP，
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠PDO=∠PCH=22.5°，
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°，
∴OP=OC．
設(shè)OP=x，則OH=ON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴HC=DN=OD-ON=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵HC=HO+OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
即OP=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，根據(jù)三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．