Question

9．如圖1，二次函數(shù)y=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m）（其中m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，使得AB平分∠DAE．
（1）當(dāng)線段AB的長為8時(shí)，求m的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0）時(shí)，求四邊形ADBE的面積．
（3）請判斷$\frac{AD}{AE}$的值是否為定值？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．
（4）分別延長AC和EB交于點(diǎn)P，如圖2．點(diǎn)A從點(diǎn)（-2，0）出發(fā)沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動到點(diǎn)（-4，0）為止，求點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑的長（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，由AB=8代入求出m的值，
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)求出m，從而求出點(diǎn)A，C，D坐標(biāo)，用相似三角形得到的比例式求出點(diǎn)E坐標(biāo)，最后用分割法求出四邊形的面積；
（3）由（2）$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．求出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而求出EN=5，DM=3，再用△ADM∽△AEN即能得到結(jié)論；
（4）有前三問的得到的點(diǎn)A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），E（4m，5），求出直線AC，BE解析式，聯(lián)立得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m）（其中m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），
令y=0，得0=$\frac{1}{m^2}$（x+m）（x-3m），
∴x=-m或x=3m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-m，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3m，0），
由題意，得AB=3m-（-m）=4m．
∴4m=8，即 m=2．
（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0），
∴m=4，
∴A（-4，0），C（0，-3），
如圖，

過點(diǎn)D，E分別作x軸的垂線，垂足為M，N．
∵CD∥AB，
∴點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（8，-3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，0）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN．
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$x，\frac{1}{16}（x+4）（x-12）$），
∴$\frac{8+4}{x+4}=\frac{3}{{\frac{1}{16}（x+4）（x-12）}}$
解得x₁=16，x₂=-4（舍去），
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（16，5）．
所以S_ADBE=S_△ADB+S_△ABE=$\frac{1}{2}×16×（{3+5}）=64$，
（3）$\frac{AD}{AE}$為定值．
∵A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），
過點(diǎn)D，E分別作x軸的垂線，垂足為M，N．

由（2）有，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DM}{EN}$．
∵CD∥AB，
∴點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（2m，-3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2m，0）．
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$x，\frac{1}{m^2}（{x+m}）（{x-3m}）$），
可得$\frac{3m}{x+m}=\frac{3}{{\frac{1}{m^2}（{x+m}）（{x-3m}）}}$
解得x₁=4m，x₂=-m（舍去）．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4m，5），
∴EN=5，DM=3
∵△ADM∽△AEN．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{3}{5}$；
（4）由（1）有，A（-m，0），B（3m，0），C（0，-3），E（4m，5），
∴直線AC解析式為y=-$\frac{3}{m}$x-3①，
直線BE解析式為y=$\frac{5}{m}$x-15②，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3m}{2}}\\{y=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$
∴P（$\frac{3m}{2}$，-$\frac{15}{2}$），
∴點(diǎn)A在運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不變，
即：點(diǎn)A從運(yùn)動到停止，點(diǎn)P的路徑是一條線段，
∵點(diǎn)A從點(diǎn)（-2，0）出發(fā)沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動到點(diǎn)（-4，0）為止，
∴當(dāng)m=2時(shí)，P（3，-$\frac{15}{2}$），
當(dāng)m=4時(shí)，P（6，-$\frac{15}{2}$）
∴點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑的長為6-3=3．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸，直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，求線段的長的方法，分割法求圖形的面積，路徑的長的確定，解本題的關(guān)鍵是用△ADM∽△AEN得到比例式，判斷點(diǎn)P的軌跡是解本題的難點(diǎn)．