Question

18．如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B固定且坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，0），頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動，始終保持∠CAB=90°，AC=AB
（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到x軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）中有兩種情況，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（-1，0），根據(jù)AB=AC，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關(guān)系；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，根據(jù)自變量的取值范圍確定最大最小值；
（4）相切時(shí)有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點(diǎn)坐標(biāo)，AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式很容易就能求出．

解答 解：
（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，AB=AC=$\sqrt{2}$-1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{2}$-1）或（1，1-$\sqrt{2}$）；
當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，AB=AC=$\sqrt{2}$+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{2}$+1）或（-1，-$\sqrt{2}$-1）；
（2）直線BC與⊙O相切．
如圖1，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，

∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直線BC與⊙O相切；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，如圖2，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（$\sqrt{2}$-x）²=3-2$\sqrt{2}$x
∴S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（3-2$\sqrt{2}$x）=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$x，
其中-1≤x≤1，
當(dāng)x=-1時(shí)，S的最大值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值為$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$；
（4）①當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí)（如右圖3）：
連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，

∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點(diǎn)O、A、C在同一條直線
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
過A、B兩點(diǎn)的直線為y=-x+$\sqrt{2}$；
②當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí)（如圖4），

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∵B的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，0）
∴過A、B兩點(diǎn)的直線為y=x-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題為圓的綜合應(yīng)用，涉及切線的性質(zhì)與判定、直線與圓的位置關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．