Question

13．如圖，矩形ABCD中，BC=3，AB=4，點E在AB上，點F在CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，則AE=$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 首先連接EF交BD于O，由矩形ABCD中，四邊形EGFH是菱形，易證得△CDOF≌△BOE（AAS），即可得OB=OD，然后由勾股定理求得BD的長，繼而求得OD的長，又由△DOF∽△DCB，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答 解：連接EF交BD于O，

∵四邊形EGFH是菱形，
∴EF⊥BD，OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，AB=DC=4，
∴∠ABO=∠FDO，
在△OEB與△OFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBO=∠FDO}\\{∠EOB=∠FOD}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴BO=DO，
∵AC=$\sqrt{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∵∠ODF=∠BDC，∠DOF=∠C=90°，
∴△DOF∽△DCB，
∴$\frac{DO}{DC}$=$\frac{DF}{BD}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{DF}{5}$，
∴DF=$\frac{25}{8}$，
∴BE=DF=$\frac{25}{8}$，
∴AE=AB-BE=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．