Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上每秒1個單位長度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式．
（2）當(dāng)t為何值時，△APQ和△AOB相似．
（3）當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A（0，6），B（8，0），運用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）當(dāng)△APQ和△AOB相似時，根據(jù)∠PAQ與∠BAO是公共角，分兩種情況討論，分別列比例式求解即可；
（3）先過點Q作QH⊥AO于H，并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，用含t的代數(shù)式表示HQ，再根據(jù)△APQ的面積為$\frac{24}{5}$，列出關(guān)于t的一元二次方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則
將點A（0，6），B（8，0）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6；

（2）由A（0，6），B（8，0）可得，AO=6，BO=8，
∴在直角三角形AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AP=t，BQ=2t，
∴AQ=10-2t，
∵∠PAQ=∠BAO，
∴分兩種情況討論：
①當(dāng)△AOB∽△APQ時，$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{QB}$，
即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
②當(dāng)△AOB∽△AQP時，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，
即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
綜上，當(dāng)t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒時，△APQ和△AOB相似；

（3）過點Q作QH⊥AO于H，則HQ∥OB，
∴$\frac{HQ}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{HQ}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得HQ=8-$\frac{8}{5}$t，
∵△APQ的面積為$\frac{24}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×AP×QH=$\frac{24}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×t×（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{24}{5}$，
解得t₁=2，t₂=3，
∴當(dāng)t=2或3秒時，△APQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位．

點評 本題主要考查了相似三角形的綜合運用，當(dāng)兩個三角形相似時，若沒有規(guī)定對應(yīng)頂點，則需要分情況討論．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，構(gòu)造相似三角形的一般方法是通過作平行線．