Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=2，OB=3，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD．
（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積；
（2）若點(diǎn)Q在線的CD上移動(dòng)（不包括C，D兩點(diǎn)）．QO與線段AB，CD所成的角∠1與∠2如圖所示，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①∠1+∠2的值不變；②$\frac{∠2}{∠1}$的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論，并求出這個(gè)值．
（3）在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得S_△CDP=S_△PBO？如果有，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)平移與坐標(biāo)變化的規(guī)律可求的點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB、OC的長(zhǎng)，從而可求得四邊形ABDC的面積；
（2）依據(jù)平行的性質(zhì)可證明∠1+∠2=180°；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，a），然后依據(jù)三角形的面積公式列方程求解即可．

解答 解：（1）OA=2，OB=3，
∴A（-2，0）、B（3，0）．
∵將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，
∴C（0，2）、D（5，2）．
∵由平移的性質(zhì)可知：AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD為平行四邊形．
∴四邊形ABDC的面積=AB•OC=5×2=10．
（2）∠1+∠2=180°．
證明：如圖1所示；

∵AB∥CD，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠2=180°．
∴∠1+∠2=180°．
∴∠1+∠2為定值．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1．
∴$\frac{∠2}{∠1}$=$\frac{180°-∠1}{∠1}$=$\frac{180°}{∠1}$-1．
∵當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1的度數(shù)在不斷變化，
∴$\frac{180°}{∠1}$-1在不斷變化，即$\frac{∠2}{∠1}$的值在不斷變化；
（3）如圖2所示：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），則PC=（2-a），PO=a．

∵S_△CDP=S_△PBO，
∴$\frac{1}{2}$DC•PC=$\frac{1}{2}$OB•OP．
∴$\frac{1}{2}×$5（2-a）=$\frac{1}{2}$×3×a．
∴10-5a=3a
解得：a=$\frac{5}{4}$
如圖3所示：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），則PC=a-2，PO=a．


∵S_△CDP=S_△PBO，
∴$\frac{1}{2}$DC•PC=$\frac{1}{2}$OB•OP．
∴$\frac{1}{2}×$5×（a-2）=$\frac{1}{2}$×3×a．
∴5a-10=3a．
解得：a=5．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{4}$）或（0，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了平移與坐標(biāo)變換的規(guī)律，平移的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．