Question

1．菱形ABCD中，AB=4cm，∠ABC=60°，直線MN由點B沿著BA方向以1cm/s的速度向點A運動，與BD交于點Q，運動時間為ts，點P由A向D運動．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）若△PMQ的面積為y，求y與t的函數關系式；
（3）是否存在時刻t，使得△PMQ的面積與菱形ABCD的面積比為3：8？若存在，求出t值；若不存在，說明理由；
（4）將△AMP沿MP翻折，如果與△PMQ重合，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）作出菱形BC邊上的高，利用直角三角形的性質得出AF，最后用底乘以高求出菱形面積；
（2）用平行線分線段成比例，先表示出MQ，AE，用三角形的面積公式即可；
（3）由（1）（2）得出的結論建立方程，判斷出此方程無解，即不存在；
（4）由折疊判斷出∠PQM=120°，再判斷出PQ=PD，即：AP=PD，即可求出AP．

解答 解：（1）如圖，過點A作AF⊥BC，
∵AB=4cm，∠ABC=60°，
∴BF=2，AF=2$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=BC×AF=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
（2）∵MN∥AD，
∴$\frac{MQ}{AD}=\frac{BM}{AB}=\frac{EF}{AF}$，
∵BM=t，
∴$\frac{MQ}{4}=\frac{t}{4}=\frac{EF}{2\sqrt{3}}$，
∴MQ=t，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴AE=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×MQ×AE=$\frac{1}{2}$×t×（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t，（0＜t＜4），
（3）不存在，
假設存在，
由（1）知，S_菱形ABCD=BC×AF=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵△PMQ的面積與菱形ABCD的面積比為3：8，
∴S△PMQ=3$\sqrt{3}$，
由（2）知，S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×MQ×AE=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\sqrt{3}$t=3$\sqrt{3}$，
∴t²-4t+12=0，
∵△=16-4×12=-32＜0，
∴此方程無解，
即：不存在時刻t，使得△PMQ的面積與菱形ABCD的面積比為3：8．
（3）∵△AMP沿MP翻折，如果與△PMQ重合
∴AP=PQ，∠PQM=∠PAM=120°，
∵∠BQM=∠ADB=30°，
∴∠PQD=180°-∠BQM-∠PQM=30°，
∴PQ=PD，
∴AP=PD=$\frac{1}{2}$AD=2．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查菱形的性質，平行線分線段成比例，等腰三角形的判定，解本題的關鍵求出AF．