Question

10．如圖，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（6，0），B（0，-6）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求△MAB的面積；
（3）設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，求證：MC∥AB．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出b，c的值進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用配方法求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線AB的解析式，得出N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出MN的長，即可得出△MAB的面積；
（3）首先求出直線CM的解析式，進(jìn)而利用斜率關(guān)系得出直線位置關(guān)系．

解答 （1）解：將A（6，0），B（0，-6）兩點(diǎn)代入二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{6}^{2}+6b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
故這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6；

（2）解：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6
=-$\frac{1}{2}$（x²-8x）-6
=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+2，
故M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，2），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+d=0}\\{d=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-6}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式為：y=x-6，
故x=4時(shí)，y=-2，
則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-2，即MN=2-（-2）=4，
故△MAB的面積為：$\frac{1}{2}$×4×AO=12；

（3）證明：∵M(jìn)（4，2），A（6，0），
∴C（2，0），
設(shè)直線CM的解析式為：y=ex+f，
則$\left\{\begin{array}{l}{2e+f=0}\\{4e+f=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=1}\\{f=-2}\end{array}\right.$，
故直線CM的解析式為：y=x-2，
可得直線AB與直線CM平行，即MC∥AB．

點(diǎn)評 此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，正確求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．