Question

12．如圖，在 Rt△ABO 中，斜邊 AB=1，若 OC∥BA，∠AOC=36°，則下面四個(gè)結(jié)論：
①點(diǎn)B到AO的距離為sin54°；②點(diǎn)B到AO的距離為tan36°；
③點(diǎn)A到OC的距離為sin36°•sin54°；④點(diǎn)A到OC的距離為cos36°•sin54°．
其中正確的是③（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作BH⊥OC于H，在Rt△AOB中，利用正弦和余弦的定義可計(jì)算出OB和OA，則可對(duì)①②進(jìn)行判斷；在Rt△OBH中，利用∠BOH的正弦可計(jì)算出BH，然后關(guān)鍵平行線的性質(zhì)可對(duì)③④進(jìn)行判斷．

解答 解：在Rt△AOB中，∵sinA=$\frac{BO}{AB}$，
∴BO=ABsinA=sin36°或BO=cos54°，
即點(diǎn)B到OA的距離為sin36°或cos54°，所以①錯(cuò)誤；
∵cosA=$\frac{OA}{AB}$，
∴OA=ABcosA=cos36°或sin54°，
即點(diǎn)A到OB的距離為cos36°或sin54°，所以②錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)A作BH⊥OC于H，如圖，
在Rt△OBH中，∵sin∠BOH=$\frac{BH}{OB}$，
∴BH=OBsin54°=sin36°•sin54°，
∵OC∥AB，
∴點(diǎn)A到OC的距離為sin36°•sin54°．所以③正確，而④錯(cuò)誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形，熟練掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．