Question

15．如圖，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=3，PC=$\sqrt{7}$，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△AQC重合．求：
（1）線段PQ的長(zhǎng)；
（2）∠APC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△QPA為等腰直角三角形，利用勾股定理可求得QP的長(zhǎng)；
（2）△QPA為等腰直角三角形，故此∠APQ=45°，在△QPC中PC=$\sqrt{7}$，QC=3，QP=$\sqrt{2}$，由勾股定理的逆定理可證△QCP為直角三角形，從而可求得∠APC=135°．

解答 解：（1）∵△APB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)與△AQC重合
∴AQ=AP=1，∠QAP=∠CAB=90°．
在Rt△APQ中，由勾股定理得：PQ=$\sqrt{A{Q^2}+A{P^2}}$=$\sqrt{{1^2}+{1^2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）∵∠QAP=90°，AQ=AP，
∴∠APQ=45°．
∵△APB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)與△AQC重合，
∴CQ=BP=3．
∵在△CPQ中PQ=$\sqrt{2}$，CQ=3，CP=$\sqrt{7}$，
∴CP²+PQ²=（$\sqrt{7}$）²+（$\sqrt{2}$）²=9，CQ²=3²=9．
∴CP²+PQ²=CQ²．
∴∠CPQ=90°．
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證得△QCP為直角三角形是解題的關(guān)鍵．