Question

已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(1，0)，C(0，-3).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），

①如圖1，當△PBC的面積與△ABC的面積相等時，求點P的坐標；

②如圖2，當∠PCB =∠BCA時，求直線CP的解析式．

圖1                          圖2

Answer 1

解：（1）由題意，得，解得

∴拋物線的解析式為.

（2）①令，解得  ∴B（3， 0）

則直線BC的解析式為  當點P在x軸上方時，如圖1，

過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，∴設直線AP的解析式為，

∵直線AP過點A（1，0），∴直線AP的解析式為，交y軸于點.

解方程組，得    ∴點

當點P在x軸下方時，如圖1，

根據(jù)點，可知需把直線BC向下平移2個單位，此時交拋物線于點，

得直線的解析式為，

解方程組，得

∴

綜上所述，點P的坐標為：

，

②過點B作AB的垂線，交CP于點F.如圖2，∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°  ∴∠CBF=∠ABC=45°

又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC      ∴△ACB≌△FCB

∴BF=BA=2，則點F（3，－2）又∵CP過點F，點C  ∴直線CP的解析式為.