Question

18．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OC=OD，根據(jù)菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2$\sqrt{3}$，連接OE，交CD于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出F為CD中點，求出OF=$\frac{1}{2}$BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面積即可．

解答 （1）證明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2$\sqrt{3}$，
連接OE，交CD于點F，

∵四邊形ABCD為菱形，
∴F為CD中點，
∵O為BD中點，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S_菱形OCED=$\frac{1}{2}$×OE×CD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的面積等于對角線積的一半．