Question

【題目】如圖1，長(zhǎng)方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，4），將△AOC沿對(duì)角線AC翻折得△ADC，AD與BC相交于點(diǎn)E．

（1）求證：△CDE≌△ABE

（2）求E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著折線A→B→C→O運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)O停止），是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△ACE的面積，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）E（5，4）；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，）或（0，），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）用角角邊定理即可證明．
（2）設(shè)CE=AE=n，則BE=8-n，利用勾股定理即可求解．
（3）構(gòu)建方程確定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解：（1）證明：∵四邊形OABC為矩形，

∴AB＝OC，∠B＝∠AOC＝90°，

∴CD＝OC＝AB，∠D＝∠AOC＝∠B，

又∠CED＝∠ABE，

∴△CDE≌△ABE（AAS），

∴CE＝AE；

（2）∵B（8，4），即AB＝4，BC＝8．

∴設(shè)CE＝AE＝n，則BE＝8﹣n，

可得（8﹣n）2+42＝n2，

解得：n＝5，

∴E（5，4）；

（3）∵S△ACE＝CEAB＝×5×4＝10，

∴S△POA＝OAyP＝10，

∴×8×yP＝10，

∴yP＝，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，）或（0，）．