Question

7．如圖①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系為；
（2）如圖②，將正方形DEFG繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）BG=AE．AE⊥BG，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADE}\\{GD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE；
∴∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+DGB=90°，
∴AE⊥BG；
（2）成立，
理由：如圖②，連接AD，
∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDG=∠ADE}\\{GD=ED}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，
∠AED=∠BGD，
∴∠BGD+DMG=90°，∠DMG=∠EMN
∴∠EMN+∠AED=90°，
∴BG⊥AE．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．