Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B，其對稱軸是．

（1）求拋物線解析式．

（2）拋物線上是否存在點M（點m不與點C重合），使△MAB與△ABC的面積相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，M（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可得；

（2）設△ABM的邊AB上的高為h，分情況討論即可得.

試題解析：（1）y=x+2，

當x=0時，y=2，

當y=0時，x=﹣4，

即A點的坐標為（﹣4，0），C點的坐標為（0，2），

∵拋物線y=ax2+bx+c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B，其對稱軸是x=﹣，

∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=2，

即拋物線解析式是y=﹣x2﹣x+2；

（2）存在，

理由是：設△ABM的邊AB上的高為h，

∵點C的坐標為（0，2），

∴OC=2，

∵S△ABC=AB×OC=×AB×2，

∵△MAB與△ABC的面積相等，

∴AM×h=×AB×2，

∴h=2，

當點M在x軸的上方時，把y=2代入y=﹣x2﹣x+2得：x=0或x=﹣3，

∵M點和C點不重合，C的坐標為（0，2），

∴M的坐標為（﹣3，2）；

當點M在x軸的下方時，把y=﹣2代入y=﹣x2﹣x+2得：﹣2=﹣x2﹣x+2，

解得：x=或x=，

此時M的坐標為（，﹣2）或（，﹣2）；

綜合上述：拋物線上存在點M（點M不與點C重合），使△MAB與△ABC的面積相等，此時點M的坐標是（﹣3，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．