Question

【題目】閱讀材料：如圖1，若點(diǎn)P是⊙O外的一點(diǎn)，線段PO交⊙O于點(diǎn)A，則PA長(zhǎng)是點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)之間的最短距離．

證明：延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)B，顯然PB＞PA．

如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)A，B不重合），連結(jié)PC，OC．

∵PO＜PC+OC，

且PO=PA+OA，OA=OC，

∴PA＜PC

∴PA 長(zhǎng)是點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)之間的最短距離．

由此可以得到真命題：圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間的最短距離是這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差．請(qǐng)用上述真命題解決下列問題．

（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP長(zhǎng)的最小值是　 　．

（2）如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，①求線段A’M的長(zhǎng)度； ②求線段A′C長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①1②

【解析】試題分析:（1）由圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間的最短距離是這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差可得結(jié)論；

（2）①利用翻折的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

②利用①的結(jié)論易得點(diǎn)A′在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上，再利用菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)得DH，MH，易得CH，由勾股定理得CM，求得A′C．

解:（1）連接AO與⊙O相交于點(diǎn)P，如圖①，由已知定理可知，

此時(shí)AP最短，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC為直徑，

∴PO=CO=1，

∴AO===，

∴AP=﹣1，

故答案為：﹣1；

（2）①∵將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，由翻折的性質(zhì)可得：

A′M=AM，

∵M是AD邊的中點(diǎn)，四邊形ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，

∴AM=1，

∴A′M=1；

②由①知，點(diǎn)A′在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上，

連接CM交圓M于點(diǎn)A′，過點(diǎn)M向CD的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為點(diǎn)H，如圖②，

∵∠A=60°，四邊形ABCD為菱形，

∴∠HDM=60°，

在Rt△MHD中，

DH=DMcos∠HDM=，

MH=DMsin∠HDM=，

∴CH=CD+DH=2+=，

在Rt△CHM中，

CM===，

∴A′C=﹣1．