Question

8．如圖，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：
（1）當0＜t＜2為何值時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當t為何值時，△AQP是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，可得AB=5cm，即可得AQ=2t，AP=5-t，然后分別從若△APQ∽Rt△ACB與若△AQP∽Rt△ACB去分析，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得t的值；
（2）過點P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得PH=3-$\frac{3}{5}t$，然后根據(jù)三角形的面積公式，從而求得y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在△APQ中，分三種情況討論：①當QA=QP，②當AP=AQ，③當PA=PQ時，分別計算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，
∴AB=5cm，
∴AQ=2t，AP=5-t，
若△AQP∽△ACB，
則$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$
∴$\frac{2t}{4}=\frac{5-t}{5}$
解得：t=$\frac{10}{7}$（s）；
若△APQ∽△ACB，
則$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{2t}{5}=\frac{5-t}{4}$，
解得：t=$\frac{25}{13}$（s）．
∴綜上所述：若使以A、P、Q為頂點的三角形與Rt△ACB相似，t的值等于$\frac{10}{7}s$或$\frac{25}{13}s$；

（2）如圖，過點P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}×2t×（3-\frac{3}{5}t）$=-$\frac{3}{5}$t²+3t；
                                   
（3）當QA=QP時，2AQcosA=AP，
即 2×$2t×\frac{4}{5}$=5-t，解得：t=$\frac{25}{21}$；
當AP=AQ時，
即 2t=5-t，解得：t=$\frac{5}{3}$；
當PA=PQ時，2APcosA=AQ，
即2×（5-t）×$\frac{4}{5}$=2t，解得：t=$\frac{20}{9}$（不合題意，舍去）  
綜上所述，當t=$\frac{25}{21}$（s）或t=$\frac{5}{3}$（s）時，△AQP是等腰三角形．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵時注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例與分類討論思想的應(yīng)用．