Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段AC上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間用t（單位：秒）表示．
（1）直接寫(xiě)出線段AB的長(zhǎng)為5；
（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，AQ的長(zhǎng)為t，AP的長(zhǎng)為5-t（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，直接由勾股定理可得AB的長(zhǎng)；
（2）由點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)可得經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，AQ的長(zhǎng)為t，由同時(shí)點(diǎn)Q在線段AC上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，可得BP=t，AP=5-t；
（3）由∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的SAS判定定理逆推可得當(dāng)$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ與△ABC相似，利用（2）的結(jié)論，分兩種情況討論可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
故答案為：5；

（2）∵點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，
∴經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，AQ=t，
∵同時(shí)點(diǎn)Q在線段AC上以同樣的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴BP=t，AP=5-t，
故答案為：t，5-t；                    

（3）∵∠PAQ=∠BAC，
∴當(dāng)$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ與△ABC相似，
第一種情況，當(dāng)$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$時(shí)，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$，
解得：$t=\frac{20}{9}$；
第二種情況，當(dāng)$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$時(shí)，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{5-t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得：$t=\frac{25}{9}$，
綜上所述：當(dāng)$t=\frac{20}{9}$或$t=\frac{25}{9}$時(shí)，△APQ與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定定理，根據(jù)題意得出AQ，AP，利用SAS定理分兩種情況討論是解答此題的關(guān)鍵．