Question

9．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，DC上，EF的延長線交BC的延長線于G點，且∠AEB=∠BEG；
（1）求證：∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S_△BEG．

Answer 1

分析 （1）作GM⊥BE于M．首先證明EG=GB，∠MGB=∠MGE，再證明∠ABE=∠MGB即可．
（2）求出BE、GM即可解決問題．

解答 解：（1）作GM⊥BE于M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠A=∠ABC=∠BMG=90°，AD∥BG，
∵∠AEB=∠BEG，∠AEB=∠EBG，
∴∠BEG=∠EBG，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴∠MGB=∠MBE，BM=EM，
∵∠ABE+∠EBG=90°，∠EBG+∠MGB=90°，
∴∠ABE=∠MGB=$\frac{1}{2}$∠EGB．

（2）在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，∴BM=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵∠ABE=∠MGB，∠A=∠GMB=90°，
∴△ABE∽△MGB，
∴$\frac{MG}{AB}$=$\frac{BM}{AE}$，
∴$\frac{MG}{4}$=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{1}$，
∴GM=2$\sqrt{17}$，
∴S_△EBG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×2$\sqrt{17}$=17．

點評 本題考查正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．